初等連分数講義

証明

\(n=1\) のときは \eqref{式_x_0} は \eqref{式_「関係式」} の第一式にほかならない。

\eqref{式_x_0} が \(n-1\) \((n\geq 2)\) のとき成り立つと仮定すると、 \begin{equation*} x_0=p_{n-1}x_{n-1}+p_{n-2}x_n. \end{equation*} \eqref{式_「関係式」} から代入して、 \begin{align*} x_0 & =p_{n-1}(k_{n-1}x_n+x_{n+1})+p_{n-2}x_n \\ & =(p_{n-1}k_{n-1}+p_{n-2})x_n+p_{n-1}x_{n+1}. \end{align*}

ところで \eqref{式_[k_0,k_1,…,k_n]} と \eqref{式_p_n} より \begin{equation} p_n=p_{n-1}k_{n-1}+p_{n-2}. \quad (n\geq 2) \tag{6}\label{式_p_n=p_[n-1]k_[n-1]+p_[n-2]} \end{equation} であるから、 \begin{equation*} x_0=p_nx_n+p_{n-1}x_{n+1}. \end{equation*}

証明

\(q_n\) についても \eqref{式_p_n=p_[n-1]k_[n-1]+p_[n-2]} と同様のものが成り立つことは、\(q_n\) の定義と \eqref{式_[k_0,k_1,…,k_n]} より明らかである。

ゆえに \begin{gather*} p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n \\ =(p_{n-1}k_{n-1}+p_{n-2})q_{n-1}-p_{n-1}(q_{n-1}k_{n-1}+q_{n-2}) \\ =-(p_{n-1}{q_{n-2}}-p_{n-2}{q_{n-1}}). \end{gather*}

かつ、 \begin{equation*} p_1q_0-p_0q_1=k_0\cdot 0-1\cdot1=-1. \end{equation*}

証明

\eqref{式_x_0} と \eqref{式_x_1} にそれぞれ \(q_{n-1}\) と \(p_{n-1}\) を掛けて前者から後者を引き、\eqref{式_(-1)^n} を用いる。

証明

\eqref{式_p_n=p_[n-1]k_[n-1]+p_[n-2]} より次の一連の式が成り立つ。 \begin{equation*} \left. \begin{aligned} p_n & =k_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2}, \\ p_{n-1} & =k_{n-2}p_{n-2}+p_{n-3}, \\ & \cdots\cdots\cdots\cdots \\ p_2 & =k_1p_1+p_0 \\ p_1 & =k_0p_0+0, \\ \end{aligned} \quad \right\} \end{equation*} これを関係式 \eqref{式_「関係式」} と見なす。ここで \eqref{式_x_0} に相当するものを考えると、\(x_n=p_0=1,\) \(x_{n+1}=0\) であるから、 \begin{equation*} p_n=[k_{n-1},k_{n-2},\ldots\ldots,k_1,k_0]. \end{equation*}

証明

\eqref{式_[k_[n-1],k_[n-2],…,k_0]} と \eqref{式_[k_0,k_1,…,k_n]} より。

証明

右辺は \eqref{式_連分数の計算の基礎} によって、 \begin{gather*} \frac{k_0[k_1,k_2,\ldots\ldots,k_n]+[k_2,\ldots\ldots,k_n]}{[k_1,k_2,\ldots\ldots,k_n]} \\ =k_0+\cfrac{1}{\cfrac{[k_1,k_2,\ldots\ldots,k_n]}{[k_2,\ldots\ldots,k_n]}}=k_0+\cfrac{1}{k_1+\cfrac{1}{\cfrac{[k_2,\ldots\ldots,k_n]}{[k_3,\ldots\ldots,k_n]}}} \\ \cdots\cdots=k_0+\frac{1}{k_1}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+}\frac{1}{k_2}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+\cdots\cdots+}\frac{1}{k_n}. \end{gather*}

証明

\begin{gather*} k_0+\frac{1}{k_1}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+}\frac{1}{k_2}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+\cdots\cdots+}\frac{1}{k_{n-1}}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+}\frac{1}{x_n} \\ =\frac{[k_0,k_1,k_2,\ldots\ldots,k_{n-1},x_n]}{[k_1,k_2,\ldots\ldots,k_{n-1},x_n]} \\ =\frac{[k_0,k_1,k_2,\ldots\ldots,k_{n-1}]x_n+[k_0,k_1,k_2,\ldots\ldots,k_{n-2}]}{[k_1,k_2,\ldots\ldots,k_{n-1}]x_n+[k_1,k_2,\ldots\ldots,k_{n-2}]} \\ =\frac{p_nx_n+p_{n-1}}{q_nx_n+q_{n-1}}. \end{gather*}

証明

\begin{equation*} \frac{q_{n+1}}{q_n}=\frac{q_nk_n+q_{n-1}}{q_n}=k_n+\cfrac{1}{\cfrac{q_n}{q_{n-1}}}. \end{equation*} かつ、 \begin{equation*} \frac{q_2}{q_1}=\frac{k_1}{1}=k_1. \end{equation*}

証明

定義より、 \begin{align*} \omega_0 & =\omega, \\ \omega_m & =\lfloor\omega_m\rfloor+\frac{1}{\omega_{m+1}}=k_m+\frac{1}{\omega_{m+1}}. \end{align*} ゆえに \(\omega_m\) が整数にならない限り、 \begin{align*} \omega & =\omega_0 \\ & =k_0+\frac{1}{\omega_1} \\ & =k_0+\cfrac{1}{k_1+\cfrac{1}{\omega_2}}=k_0+\frac{1}{k_1}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+}\frac{1}{\omega_2} \\ & \ldots\ldots\ldots\ldots \\ & =k_0+\frac{1}{k_1}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+}\frac{1}{k_2}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+\cdots\cdots+}\frac{1}{\omega_n} \end{align*} と続けていくことができ、どの段階も \(\omega\) に等しい。

証明

\(\omega\) が有理数ならば、任意の番号 \(m\) に対して \(\omega_m\) も有理数であるから、 \begin{equation*} \omega_m=\frac{a}{b}, \quad \omega_{m+1}=\frac{a'}{b'} \quad (b,b'>0) \end{equation*} と既約分数として書くことにする。すると、 \begin{equation*} 1\gt\frac{1}{\omega_{m+1}}=\omega_m-k_m=\frac{a-bk_m}{b}=\frac{b'}{a'}. \end{equation*} ゆえに \begin{equation*} a'\gt b', \quad a'=b. \end{equation*} すなわち \begin{equation*} b\gt b'. \end{equation*} よって、\(m\) が増すごとに \(\omega_m\) の分母は確実に小さくなっていくので、いずれは \(1\) になり、ある番号 \(n\) において \(\omega_{n}\) は整数となる。

証明

連分数展開が停止するのは終項が整数になったときだが、そのときはすべての項が整数の連分数が具体的に得られたわけであり、かつ、それは元の数に等しいから、元の数は有理数であることになる。すなわち、有理数でないなら停止しない。

証明

\(\omega\) は無理数であるから、任意の番号 \(n\) に対して終項 \(\omega_n\) が存在し、\eqref{式_(px+p)/(qx+q)} より \begin{align*} \omega & =k_0+\frac{1}{k_1}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{}{+\cdots\cdots+}\frac{1}{k_{n-1}}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{}{+}\frac{1}{\omega_n} \\ & =\frac{p_n\omega_n+p_{n-1}}{q_n\omega_n+q_{n-1}}. \end{align*} よって \begin{align} \frac{p_n}{q_n}-\omega & =\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_n\omega+p_{n-1}}{q_n\omega+q_{n-1}} \notag \\ & =\frac{p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n}{q_n(q_n\omega_n+q_{n-1})} \notag \\ & =\frac{(-1)^n}{q_n(q_n\omega_n+q_{n-1})}. \tag{13}\label{式_p_n/q_n-ω} \end{align}

さて、 \begin{gather} q_1=1, \quad q_2=k_1, \notag \\ q_n=k_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2}, \notag \\ 1=q_1\leq q_2\lt q_3\lt\ldots\ldots\lt q_n\lt\ldots\ldots \tag{14}\label{式_q_nの大小変化} \end{gather} で、これらは整数であるから \begin{equation*} \lim_{n\to\infty}q_n=+\infty. \end{equation*}

また、\(\omega_n\gt k_n\) であるから、\eqref{式_p_n/q_n-ω} より \begin{equation*} \left|\omega-\frac{p_n}{q_n}\right|\lt\frac{1}{q_n(q_nk_n+q_{n-1})}=\frac{1}{q_nq_{n+1}}\lt\frac{1}{q_n^2}. \end{equation*} ゆえに定理の主張が成り立つ。

証明

\eqref{式_p_n/q_n-ω} により \(\displaystyle \omega-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\) と \(\displaystyle \omega-\frac{p_n}{q_n}\) は反対の符号を有するから、\(\omega\) はそれらの間にある。

ところで、 \begin{gather*} \left|\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}-\frac{p_n}{q_n}\right|=\frac{1}{q_{n-1}q_n}, \quad \left|\omega-\frac{p_n}{q_n}\right|\lt\frac{1}{q_nq_{n+1}}, \\ q_{n+1}=k_nq_n+q_{n-1}\geq 2q_{n-1}. \end{gather*} ゆえに \begin{equation*} \left|\omega-\frac{p_n}{q_n}\right|\lt\frac{1}{2}\left|\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}-\frac{p_n}{q_n}\right|. \end{equation*} よって、\(\omega\) は \(\displaystyle \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\) と \(\displaystyle \frac{p_n}{q_n}\) の中央よりも \(\displaystyle \frac{p_n}{q_n}\) 寄りに位置する。

証明

\begin{equation*} \frac{p_1}{q_1}=k_0=\lfloor\omega\rfloor\leq\omega \end{equation*} であるが、定理の但し書きにより等号は成り立たない。ゆえに、\eqref{式_p_n/q_n-ω} と \eqref{式_隣り合う近似分数の誤差の大小} より主張が成り立つことが分かる。

証明

\eqref{式_大小比較・ω}, \eqref{式_大小比較・ω'} の \(k_n,\) \(k_n'\) 以下の部分をそれぞれ終項 \(\omega_n,\) \(\omega_n'\) で置き換えると、 \begin{equation*} \omega=\frac{p_n\omega_n+p_{n-1}}{q_n\omega_n+q_{n-1}}, \quad \omega'=\frac{p_n\omega_n'+p_{n-1}}{q_n\omega_n'+q_{n-1}}. \end{equation*} ゆえに \begin{equation*} \omega-\omega'=\frac{(-1)^n(\omega_n-\omega_n')}{(q_n\omega_n+q_{n-1})(q_n\omega_n'+q_{n-1})}. \end{equation*}

さて、 \begin{equation*} \omega_n\geq k_n\geq k_n'+1\geq\omega_n'\geq k_n' \end{equation*} が成り立っている。仮定により \(k_n\gt k_n'\) であるから、\(\omega_n\) と \(k_n'\) の間に不等号が入るはずである。\(\omega_n\gt\omega_n'\) であれば \((-1)^n\) に従って \(\omega\gt\omega'\) あるいは \(\omega\lt\omega'\) である。

そうでなければ、\(\omega_n=k_n=k_n'+1=\omega_n'\) で、これが但し書きで指摘した例外である。

証明

連分数 \(\Omega\) が有限連分数のときは、\(\Omega\) はある有理数 \(\omega\) を値に持ち、かつ、有理数に等しい正則連分数は一意だから、\(\Omega\) と \(\omega\) は同一視することができ、定理 14 をそのまま適用できる。

よって、\(\Omega\) は無限連分数であるとする。すなわち、任意の番号 \(n\) に対して、近似分数 \(\displaystyle \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\) が存在する。ところで、\(\displaystyle \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\) を単に有理数として考えるならば、その近似分数（有理数の近似分数だから一意である）は \(\Omega\) のそれと番号 \(1\) から \(n\) まで（正確には \(n+1\) も含む）の範囲で一致する。そして、これらの近似分数は \(\Omega\) のものであると同時に \(\displaystyle \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\) のそれでもあるから、定理 14 が適用でき、すなわち、番号 \(n\) までの \(\Omega\) の近似分数についてなら定理の主張が成り立つことが言える。

この論法は任意の \(n\) について適用することができるから、結局、定理の主張が成り立つ。

証明

任意の無限連分数について、その近似分数 \(\displaystyle \frac{p_n}{q_n}\) を考える。奇数番号の近似分数のなす数列と、偶数番号のそれとを区別することにし、 \begin{equation*} a_n=\frac{p_{2n-1}}{q_{2n-1}}, \quad b_n=\frac{p_{2n}}{q_{2n}} \end{equation*} と定義する。

すると、定理 16 により \(\{a_n\}\) は上に有界な単調増加数列、\(\{b_n\}\) は下に有界な単調減少数列であるから、それぞれ収束し収束値 \(\alpha,\) \(\beta\) を持つ。

また、\eqref{式_(-1)^n} と \eqref{式_q_nの大小変化} より、 \begin{equation*} b_n-a_n=\frac{p_{2n}}{q_{2n}}-\frac{p_{2n-1}}{q_{2n-1}}=\frac{(-1)^{2n}}{q_{2n-1}q_{2n}}\lt\frac{1}{q_{2n}^2}. \end{equation*} ゆえに \begin{equation*} \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0. \end{equation*}

よって \begin{equation*} \alpha=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\beta \end{equation*} であり、数列 \(\displaystyle \left\{\frac{p_n}{q_n}\right\}\) もまた \(\alpha\) \((=\beta)\) に収束する。なぜならば、\(\{a_n\},\) \(\{b_n\}\) がともに \(\alpha\) に収束することにより、任意の正の実数 \(\varepsilon\) について、\(n> N\) ならば \begin{equation*} \left|a_n-\alpha\right|\lt\varepsilon \quad \text{かつ} \quad \left|b_n-\alpha\right|\lt\varepsilon \end{equation*} となるような番号 \(N\) があるのであり、つまり \begin{equation*} \left|\frac{p_{2n-1}}{q_{2n-1}}-\alpha\right|\lt\varepsilon \quad \text{かつ} \quad \left|\frac{p_{2n}}{q_{2n}}-\alpha\right|\lt\varepsilon \end{equation*} で、これは、\(\displaystyle \frac{N+1}{2}\) より大きい任意の番号 \(m\) について \begin{equation*} \left|\frac{p_m}{q_m}-\alpha\right|\lt\varepsilon \end{equation*} であるのと同じことだからである。

証明

任意の無限連分数を \(\Omega\) とすると、それらの隣り合う近似分数は一つの閉区間 \begin{equation*} \left\{x\middle|\frac{p_n}{q_n}\leq x\leq\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\right\} \end{equation*} を定め、それらの区間は番号の増加とともに、より内側へ狭まっていく（定理 16）。 さて、それぞれの区間の幅は \(0\) ではないので、その中に属する実数が存在する。そして \begin{equation} \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\leq\alpha\leq\frac{p_{n+2}}{q_{n+2}} \tag{20}\label{式_区間条件} \end{equation} であるならば、\(\alpha\) の連分数展開の任意の項 \(k_m\) について、少なくとも番号 \(n\) まではすべて連分数 \(\Omega\) のものと同じある。さもなければ、ただちに定理 15 により \(\alpha\) は \(\Omega\) の近似分数 \(\displaystyle \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}},\) \(\displaystyle \frac{p_{n+2}}{q_{n+2}}\) の両方よりも大きいか小さいかになって、\eqref{式_区間条件} を満たさなくなるからである。 ところで、定理 17 の証明から分かるように、連分数 \(\Omega\) の隣り合う近似分数が定める閉区間にはいつも必ずその収束値 \(\omega\) が入っている（単調増加数列とそのどの項よりもすべての項が大きい単調減少数列とがあって、それらの極限が同一なら、それは前者の任意の項より決して小さくなく、後者の任意の項より決して大きくないはずなのだから、前者の項と後者の項が何であろうと両者の区切る閉区間に含まれなければならない）。すなわち、任意の番号 \(n\) について、番号 \(n\) までの項は \(\Omega\) と\(\omega\) とですべて一致する。\(n\) は任意だから、定理の主張が成り立つ。

証明

\begin{align*} \frac{p_n}{q_n}-\frac{r_\lambda}{s_\lambda} & =\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}+\lambda p_n}{q_{n-1}+\lambda q_n} \\ & =\frac{p_nq_{n-1}+p_{n-1}q_n}{q_n(q_{n-1}+\lambda q_n)} \\ & =\frac{(-1)^n}{q_n(q_{n-1}+\lambda q_n)} \end{align*} ゆえに、\(\displaystyle \frac{p_n}{q_n}-\frac{r_\lambda}{s_\lambda}\) は \(\lambda\) が増大するに従ってその絶対値が減少していく。ここで \(\lambda\) が \(0\) と \(k_n\) の値もとりうるとしても、そのことは言える。すなわち、\(\displaystyle \frac{r_\lambda}{s_\lambda}\) は \(\lambda\) が \(0\) から \(k_n\) まで増えるにつれて、\(\displaystyle \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\) そのものから始まって、\(\displaystyle \frac{p_n}{q_n}\) の方へ動いてゆき、最後は \(\displaystyle \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\) そのものになる。また、同じ式から \begin{equation*} \frac{p_ns_\lambda-q_nr_\lambda}{q_ns_\lambda}=\frac{(-1)^n}{q_ns_\lambda}. \end{equation*}

証明

\begin{align*} u & =ax-by, \\ v & =dy-cx. \end{align*} と置くと、 \begin{align*} x & =du+bv, \\ y & =cu+av. \end{align*} \(\displaystyle \frac{a}{b}\gt\frac{y}{x}\gt\frac{c}{d}\) より \(u\gt 0,\) \(v\gt 0.\) これらは整数だから \(u\geq 1,\) \(v\geq 1\) であり、\(x=du+bv\) より \begin{equation*} x\geq b+d. \end{equation*} 等号が成り立つのは \(u=1,\) \(v=1\) のときに限る。すなわち \begin{equation*} \frac{y}{x}=\frac{a+c}{b+d}. \end{equation*}

証明

\(\omega\) よりも小さい有理数の場合を考える。

奇数番号の主なる近似分数およびそれらの間の中間近似分数について、その分母は \begin{gather*} q_1=1; \\ q_1+q_2,\ q_1+2q_2,\ \ldots\ldots,\ q_1+(k_2-1)q_2; \\ q_3=q_1+k_2q_2; \\ q_3+q_4,\ q_3+2q_4,\ \ldots\ldots,\ q_3+(k_4-1)q_4; \\ q_5=q_3+k_4q_4; \\ \ldots\ldots\ldots\ldots \end{gather*} であり、これは \(1\) から始まって次第に増大する整数列である。

この中で \(A\) を超えない最大の整数を \(s\) とすれば \begin{equation} s\leq A\lt s+q_n. \tag{21}\label{式_s≦A＜s+q_n} \end{equation} ただし、番号 \(n\) は偶数である。

この \(s\) を分母とする近似分数を \(r/s\) とすると、 \begin{gather} \frac{p_n}{q_n}\gt\omega\gt\frac{r}{s}, \tag{22}\label{式_p_n/q_n＞ω＞r/s} \\ p_ns-q_nr=1 \tag{23}\label{式_p_ns-q_nr=1}. \end{gather}

このとき、 \begin{equation} \omega\gt\frac{y}{x}\gt\frac{r}{s}, \quad x\leq A \tag{24}\label{式_ω＞y/x＞r/s,x≦A} \end{equation} を満たす有理数 \(\displaystyle \frac{y}{x}\) が存在しないことを示せばよい。

仮に存在するとすれば、\eqref{式_p_n/q_n＞ω＞r/s} より \begin{equation*} \frac{p_n}{q_n}\gt\frac{y}{x}\gt\frac{r}{s}. \end{equation*} ゆえに、\eqref{式_p_ns-q_nr=1} と定理 20 によって、 \begin{equation*} x\geq q_n+s. \end{equation*} したがって、\eqref{式_ω＞y/x＞r/s,x≦A} より \begin{equation*} A\geq q_n+s. \end{equation*} これは \eqref{式_s≦A＜s+q_n} に反する。

これで示された。\(\omega\) より大きい有理数の場合も同様である。

証明

元の無理数よりも小さい（または大きい）有理数で最後まで残ったものは、定理 21 において自己の分母を \(A\) とすることにより、ただちに奇数番号（または偶数番号）の主なる近似分数およびそれらの間の中間近似分数である。

また、奇数番号（または偶数番号）の主なる近似分数およびそれらの間の中間近似分数は、定理 21 において \(A\) として自己の分母を選べば、分母が \(A\) を越えない同類のうちで最も \(A\) に近い唯一の近似分数なのだから、定理 21 により、自己の分母を超えない分母を有する他のどの分数よりもマイナス（あるいはプラス）の誤差が少ないものである。したがって、必ず残留する。

証明

定理 22 より近似分数しか残らないのは分かっているから、それのみを対象にすればよい。

まず、\eqref{式_隣り合う近似分数の誤差の大小} より、\(\displaystyle \frac{p_n}{q_n}\) の誤差は \(\displaystyle \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\) のそれより少ないから、主なる近似分数は残留する。反対側の近似分数で最も誤差の少ないものは \(\displaystyle \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\) だからである。ただし、\(k_1=1\) のとき、\(\displaystyle \frac{p_1}{q_1}=\frac{k_0}{1}\) は分母の等しい \(\displaystyle \frac{p_2}{q_2}=\frac{k_0+1}{1}\) よりも誤差が大きいことになる。これは唯一の例外である。

中間近似分数 \begin{equation*} \frac{r_\lambda}{s_\lambda}=\frac{p_{n-1}+\lambda p_n}{q_{n-1}+\lambda q_n} \end{equation*} が残留するには反対側の \(\displaystyle \frac{p_n}{q_n}\) より誤差が小さいことが必要である。すなわち、たとえば \(n\) が奇数のときは（偶奇による式の違いは結果的に打ち消される）、 \begin{equation*} \frac{r_\lambda}{s_\lambda}-\frac{p_n}{q_n}\lt 2\left(\omega-\frac{p_n}{q_n}\right) \end{equation*} でなければならない（\(\omega\) が \(r_\lambda/s_\lambda\) と \(p_n/q_n\) の中央よりも \(p_n/q_n\) から遠い側になければならない）。つまり \begin{equation*} \frac{1}{s_\lambda q_n}\lt\frac{2}{q_n(q_n\omega_n+q_{n-1})}, \end{equation*} すなわち \begin{equation*} 2(q_{n-1}+\lambda q_n)\gt q_n\omega_n+q_{n-1}, \end{equation*} すなわち \begin{equation*} q_{n-1}\gt q_n(\omega_n-2\lambda) \end{equation*} ということである。

\(\lambda\gt k_n/2\) ならば、右辺は負になるから残留。

\(\lambda\lt k_n/2\) ならば \(2\lambda\lt k_n,\) すなわち \(2\lambda\leq(k_n-1).\) ゆえに \begin{equation*} \omega_n-2\lambda\geq(\omega_n-k_n)+1\gt 1 \end{equation*} で不成立。除去。

\(\lambda=k_n/2\) ならば、条件は \begin{equation*} q_{n-1}\gt q_n(\omega_n-k_n)=\frac{q_n}{\omega_{n+1}}, \end{equation*} すなわち \begin{equation*} \omega_{n+1}\gt\frac{q_n}{q_{n-1}}. \end{equation*} これは \begin{equation*} k_{n+1}+\frac{1}{k_{n+2}}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+\cdots\cdots}\gt k_{n-1}+\frac{1}{k_{n-2}}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+\cdots\cdots+}\frac{1}{k_1} \end{equation*} を意味する。

証明

\begin{equation} \begin{aligned} x & =uq_{n-1}+vq_x \\ y & =up_{n-1}+vp_n \end{aligned} \tag{26}\label{式_1次変換} \end{equation} と置いて整数 \(x,\) \(y\) を整数 \(u,\) \(v\) の変換によって表す。\(p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=\pm1\) であるので、\(x,\) \(y\) と \(u,\) \(v\) は一対一に対応する。

さて、 \begin{align*} \omega x-y & =u(\omega q_{n-1}-p_{n-1})+v(\omega q_n-p_n) \\ & =(p_n-\omega q_n)\left(\frac{-\omega q_{n-1}+p_{n-1}}{\omega q_n-p_n}u-v\right) \end{align*} であるが、 \begin{equation*} \omega=\frac{p_n\omega_n+p_{n-1}}{q_n\omega_n+q_{n-1}} \end{equation*} より \begin{equation*} \omega_n=\frac{-\omega q_{n-1}+p_{n-1}}{\omega q_n-p_n} \end{equation*} であるので、 \begin{equation} \omega x-y=(p_n-\omega q_n)(\omega_n u-v). \tag{27}\label{式_ωx-yの条件} \end{equation} よって \(|\omega_n u-v|\) の最小値を求めればよい。

\(u\leq 0\) のとき、\(x\gt 0\) と \eqref{式_1次変換} から \(v\gt 0.\) よって \(v\geq 1.\) ゆえに \begin{equation} \omega_nu-v\leq-1. \tag{28}\label{式_(ω_n)u-v≦-1} \end{equation} すなわち \begin{equation*} |\omega_nu-v|\geq 1 \end{equation*} で、等号は \(u=0,\) \(v=1\) のとき、すなわち \eqref{式_1次変換} より、 \begin{equation*} x=q_n, \quad y=p_n \end{equation*} のときに限り成り立つ。 一方、\(u\gt 0\) のときは、\(x\leq A\lt q_{n+1}=q_{n-1}+k_nq_n\) から、\(v\leq k_n-1.\) ゆえに \begin{equation*} \omega_nu-v\geq\omega_nu-k_n+1\gt 1. \end{equation*} よって、\(|\omega_nu-v|\) は \(x=q_n,\) \(y=p_n\) のとき最小になる。

証明

定理 24 と同じく、\eqref{式_1次変換} によって \(x,\) \(y\) を整数 \(u,\) \(v\) の変換として考える。したがって、\eqref{式_ωx-yの条件} がここでも \(|\omega x-y|\) の最小値を考えるうえでの関係式である。

\(n\) が偶数の場合を考える（奇数の場合も部分的に正負を入れ替えて同様）。\eqref{式_ωx-yの条件} において \(p_n-\omega q_n\gt 0.\) したがって \(\omega x-y\gt 0\) より \(\omega_nu-v\gt 0.\) ゆえに \eqref{式_(ω_n)u-v≦-1} から分かるとおり、\(u\leq 0\) ではありえない。

さて、定理の条件によって \begin{equation*} x\leq A\lt q_{n-1}+(\lambda+1)q_n. \end{equation*} ゆえに \eqref{式_1次変換} から \begin{equation*} uq_{n-1}+vq_n\lt q_{n-1}+(\lambda+1)q_n \end{equation*} であるが、\(u\gt 0\) より \(v\leq\lambda\) となる。よって \begin{equation*} \omega_nu-v\geq\omega_n-\lambda. \end{equation*} 等号は \(u=1,\) \(v=\lambda\) のときに限る。すなわち \eqref{式_1次変換} によって、 \begin{equation*} x=s, \quad y=r \end{equation*} のとき \(\omega x-y\) は最小になる。

証明

定理 24 によれば、\(0\lt x\leq q\) の範囲で \(|\omega x-y|\) が最小となる整数 \(x,\) \(y\) がそれぞれ \(q,\) \(p\) であればよい。

すなわち、\(\displaystyle \frac{a}{b}\neq\frac{p}{q}\) となる任意の整数 \(a,\) \(b\)（ただし \(b\gt 0\)）について、 \begin{equation} |\omega b-a|\leq|\omega q-p| \quad (\lt 1/2q) \quad \text{ならば} \quad b\gt q \tag{29}\label{式_|ωb-a|≦|ωq-p|} \end{equation} であることが示されれば十分である。

ところで、\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{p}{q}\) の場合は考えなくてよい。\(\displaystyle \frac{p}{q}\) が既約であることにより、この場合、ある正の整数 \(d\) を用いて \(a=dp,\) \(b=dq\) と表されるのであり、 \begin{equation*} |\omega b-a|=d|\omega p-q|\geq|\omega p-q| \end{equation*} であるから、\(x=b,\) \(y=a\) は \(d=1,\) すなわち \(b=q,\) \(a=p\) でない限り \(|\omega x-y|\) の最小値を与え得ない。

さて、\eqref{式_|ωb-a|≦|ωq-p|} の仮定部分より、 \begin{equation*} \left|\omega-\frac{a}{b}\right|\lt\frac{1}{2bq}. \end{equation*} ゆえに \begin{equation*} \left|\frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right|\leq\left|\omega-\frac{a}{b}\right|+\left|\omega-\frac{p}{q}\right|\lt\frac{1}{2bq}+\frac{1}{2q^2}=\frac{q+b}{2bq^2} \end{equation*} 一方、\(\displaystyle \frac{a}{b}\neq\frac{p}{q}\) より \begin{equation*} \left|\frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right|\geq\frac{1}{bq}. \end{equation*} したがって \begin{equation*} \frac{1}{bq}\lt\frac{q+b}{2bq^2}. \end{equation*} ゆえに \(q\lt b\) である。

証明

\begin{equation*} \left|\omega-\frac{p_n}{q_n}\right|=\frac{1}{q_n\left(q_n\omega_n+q_{n-1}\right)}=\cfrac{1}{q_n^2\left(\omega_n+\cfrac{q_{n-1}}{q_n}\right)}. \end{equation*} そこで、この式の最右辺を \(\displaystyle \frac{1}{q_n^2\rho_n}\) と表すことにすると、 \begin{align*} \rho_n & =\omega_n+\frac{q_{n-1}}{q_n}=k_n+\frac{1}{\omega_{n+1}}+\frac{q_{n+1}}{q_n}-k_n \\ & =\frac{1}{\omega_{n+1}}+\frac{q_{n+1}}{q_n}. \end{align*} よって、\(\rho=\sqrt{k_n^2+4}\) と置けば、定理の主張は \(\rho_{n-1}\leq\rho,\) \(\rho_n\leq\rho,\) \(\rho_{n+1}\leq\rho\) が同時には成り立たないということである。すなわち、 \begin{align*} \rho_{n-1} & =\frac{1}{\omega_n}+\frac{q_n}{q_{n-1}}\leq\rho \\ \rho_n & =\omega_n+\frac{q_{n-1}}{q_n}=\frac{1}{\omega_{n+1}}+\frac{q_{n+1}}{q_n}\leq\rho \\ \rho_{n+1} & =\omega_{n+1}+\frac{q_n}{q_{n+1}}\leq\rho \end{align*}

さて、正の数 \(x,\) \(y\) が \begin{equation} x+y\leq\rho, \quad \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\rho \tag{30}\label{式_直線と双曲線の方程式} \end{equation} を満たすとき、点 \((x,y),\) \(\displaystyle \left(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right)\) は直線 \(x+y=\rho\) と双曲線 \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\rho\)（の一方）とに囲まれた領域にあり、\(x,\) \(y,\) \(\displaystyle \frac{1}{x},\) \(\displaystyle \frac{1}{y}\) の取りうる値はいずれも \begin{equation} \frac{\rho-\sqrt{\rho^2-4}}{2} \quad \text{から} \quad \frac{\rho+\sqrt{\rho^2-4}}{2} \quad \text{まで} \tag{31}\label{式_直線と双曲線の交点の範囲} \end{equation} である（\(\rho\geq 2\) であるからどちらも実数である）。実際、\eqref{式_直線と双曲線の方程式} を解けばそれが分かる。ゆえに、\(\displaystyle \frac{q_{n-1}}{q_n}\) も \(\displaystyle \frac{q_{n+1}}{q_n}\) も \eqref{式_直線と双曲線の交点の範囲} の範囲にある。

ところが、 \begin{equation*} k_n=\frac{q_{n+1}}{q_n}-\frac{q_{n-1}}{q_n}\leq\frac{\rho+\sqrt{\rho^2-4}}{2}-\frac{\rho-\sqrt{\rho^2-4}}{2}=\sqrt{\rho^2-4}=k_n. \end{equation*} したがって、少なくとも \(\displaystyle \frac{q_{n+1}}{q_n}=\frac{\rho+\sqrt{\rho^2-4}}{2}=\frac{k_n+\sqrt{k_n^2+4}}{2}\) でなければならないが、\(k_n\gt 0\) であるので無理数となって矛盾する。

無理数であるわけは、\(\displaystyle \frac{k_n+\sqrt{k_n^2+4}}{2}\) が \(\displaystyle x=k_n+\frac{1}{x}\) の解だからである。すなわち、 \begin{equation*} x=k_n+\frac{1}{k_n}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+}\frac{1}{k_n}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+\cdots\cdots} \end{equation*} なる無限連分数である。

証明

\(\omega\) の連分数展開において \(k_n\geq 1\) \((n\neq 0)\) であるから、定理 27 より。

証明

\(\displaystyle c\lt\frac{1}{\sqrt{5}}\) として反例を示せばよい。また、定理 26 より \(\displaystyle \frac{p}{q}\) はすべて主なる近似分数であることになるので、それに話を限定してよい。

\(\omega\) として無理数 \begin{equation*} \phi=1+\frac{1}{1}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+}\frac{1}{1}\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+\cdots\cdots}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \end{equation*} を選ぶと、任意の \(n\) について \(\omega_n=\phi\) であるから、 \begin{equation*} \phi=\frac{p_n\phi+p_{n-1}}{q_n\phi+q_{n-1}} \end{equation*} であり、 \begin{equation*} \left|\phi-\frac{p_n}{q_n}\right|=\cfrac{1}{q_n^2\left(\phi+\cfrac{q_{n-1}}{q_n}\right)} \end{equation*} となる。ところで、\(\phi\) の連分数展開の項は \(1\) ばかりであるから、\eqref{式_q_[n+1]/q_n} より \(q_n/q_{n-1}=p_{n-1}/q_{n-1}\) である。ゆえに \begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\frac{q_{n-1}}{q_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{q_{n-1}}{p_{n-1}}=\frac{1}{\phi}. \end{equation*} よって、\(0\) に収束する実数列 \(\{\varepsilon_n\}\) を用いて、 \begin{equation*} \frac{q_{n-1}}{q_n}=\frac{1}{\phi}+\varepsilon_n=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\varepsilon_n \end{equation*} と表すことができる。したがって \begin{equation*} \left|\phi-\frac{p_n}{q_n}\right|=\cfrac{1}{q_n^2\left(\cfrac{\sqrt{5}+1}{2}+\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}+\varepsilon_n\right)}=\frac{1}{q_n^2(\sqrt{5}+\varepsilon_n)} \end{equation*} である。このことから、\(\displaystyle c\lt\frac{1}{\sqrt{5}}\) がどんな数であろうと、十分に大きな \(n\) に対しては \begin{equation*} \left|\phi-\frac{p_n}{q_n}\right|\gt c\cdot\frac{1}{q_n^2} \end{equation*} であることがわかる。

証明

仮定より、\(k_n\geq 2\) である項が無数にあることになるから、定理 27 より。